【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,
,動(dòng)點(diǎn)
滿足
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并說明曲線
是什么圖形;
(2)過點(diǎn)的直線
與曲線
交于
兩點(diǎn),若
,求直線
的方程;
(3)設(shè)是直線
上的點(diǎn),過
點(diǎn)作曲線
的切線
,切點(diǎn)為
,設(shè)
,求證:過
三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
,曲線
是以
為圓心,2為半徑的圓(2)
的方程為
或
.(3)證明見解析,所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
【解析】
(1)利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合條件,化簡得出曲線
的方程,根據(jù)曲線
方程的表示形式確定曲線
的形狀;
(2)根據(jù)幾何法計(jì)算出圓心到直線的距離,對(duì)直線
分兩種情況討論,一是斜率不存在,一是斜率存在,結(jié)合圓心到直線的距離
求出直線的斜率,于此得出直線
的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,根據(jù)切線的性質(zhì)得出
,從而可得出過
、
、
三點(diǎn)的圓的方程,整理得出
,然后利用
,解出方程組可得出所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)由題意得,化簡可得:
,
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
.
曲線是以
為圓心,
為半徑的圓;
(2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),
,不成立;
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)
,即
,
圓心到
的距離為
∵
∴, 即
,解得
或
,
∴的方程為
或
;
(3)證明:∵在直線
上,則設(shè)
∵為曲線
的圓心,由圓的切線的性質(zhì)可得
,
∴經(jīng)過的三點(diǎn)的圓是以
為直徑的圓,
則方程為,
整理可得,
令,且
,
解得或
則有經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某工廠生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16件零件,測(cè)量其內(nèi)徑數(shù)據(jù)從小到大依次排列如下(單位:):1.12,1.15,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42,據(jù)此可估計(jì)該生產(chǎn)線上大約有25%的零件內(nèi)徑小于等于_____
,大約有30%的零件內(nèi)徑大于_____
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,若△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
滿足
.設(shè)動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為曲線
,直線
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線
交于不同的
兩點(diǎn),且
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線
的斜率;
(3)若,
是直線
上的動(dòng)點(diǎn),過
作曲線
的兩條切線
,切點(diǎn)為
,探究:直線
是否過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在
處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè),證明:對(duì)任意
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A(﹣ ,
),B(
,
),拋物線上的點(diǎn)P(x,y)(﹣
<x<
),過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N+),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和(n∈N+).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f( )的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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