Question

【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為 ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得 ？若存在，求出n值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），

∴n≥2時，Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），

兩式相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）[n﹣（n﹣2）]，

即（n﹣1）an=（n﹣1）an﹣1+6（n﹣1），也即an﹣an﹣1=6，

∴{an}為公差為6的等差數(shù)列，

又a1=1，∴an=6n﹣5；

（2）解： ，

∴ ，

，

∴ ，

即5n=4035，

∴n=807．

即當n=807時，

【解析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得，∴n≥2時，Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），與原遞推式作差可得{an}為公差為6的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項公式可求；（2）把數(shù)列{an}的通項公式代入Sn=nan﹣3n（n﹣1），得到 ，由 即可求得n的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數(shù)列的通項公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．