Question

已知向量

a

=（sinx，

3

-

3

cos2x），

b

=（2cosx，1），定義f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）為偶函數(shù)，求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積先求出f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出f（x+θ）的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出x的值，再根據(jù)函數(shù)的極值求得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=（sinx，

3

-

3

cos2x）•（2cosx，1）
=2sinxcosx+

3

-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x+

3

，
=2sin（2x-

π

3

）+

3

，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

 （k∈Z），
得kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，
所以所求單調(diào)遞減區(qū)間為（kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

），（k∈Z），
（2）∵y=f（x+θ）=2sin（2x+2θ-

π

3

）+

3

為偶函數(shù)，
∴2θ-

π

3

=kπ+

π

2

 （k∈Z），
即θ=

kπ

2

+

5π

12

，
又0＜θ＜

π

2

，
所以θ=

5π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．