Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+clnx（其中a，b，c為實常數(shù)）
（1）當b=0，c=1時，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3
①若函數(shù)f（x）無極值點且方程f′（x）=0有解，求a，b，c的值；
②若函數(shù)f（x）有兩個極值點，證明f（x）的極值點小于-

3

4

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得x＞0，f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）①f′(x)=2ax+b+

c

x

，由題得

f(1)=a+b=0 f′(1)=2a+b+c=3

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a，b，c的值．
②由①知f′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

，x＞0，要使函數(shù)f（x）有兩個極值點，只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，由此能證明f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．

解答： （1）解：當b=0，c=1時，f（x）=ax²+lnx，
x＞0，f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，
當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無減區(qū)間；
當a＜0時，由f′（x）＞0，得x＞

- 1 2a

或x＜-

- 1 2a

（舍），
由f′（x）＜0，得0＜x＜

- 1 2a

，
∴f（x）的減區(qū)間是（0，

- 1 2a

），增區(qū)間是（

- 1 2a

，+∞）．
（2）①解：f′(x)=2ax+b+

c

x

，
由題得

f(1)=a+b=0 f′(1)=2a+b+c=3

，
此時f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，
f′(x)=2axa+

3-a

x

=

2ax2-ax+3-a

x

，
由f（x）無極值點且f′（x）存在零點，
得a²-8a（3-a）=0，a＞0，
解得a=

8

3

，于是b=-

8

3

，c=-

1

3

．
②證明：由①知f′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

，x＞0，
要使函數(shù)f（x）有兩個極值點，
只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，
那么實數(shù)a應滿足

a2-8a(3-a)＞0 3-a＞0 a 2(2a) ＞0

，解得

8

3

＜a＜3，
設(shè)兩正根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
可知當x=x₂時有極小值f（x₂），
其中這里0＜x₁＜

1

4

，
由于對稱軸為x=

1

4

，所以

1

4

＜x₂＜

1

2

，
且2ax₂²-ax₂+3-a=0，得a=

-3

2x2-x2-1

，
記g（x）=x²-x-lnx，（

1

4

＜x≤1），
有g′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

≤1，對x∈（

1

4

，1]恒成立，
又g（1）=0，故對x∈（

1

4

，

1

2

）恒有g(shù)（x）＞g（1），即g（x）＞0，
所以有f(x2)=ax22-ax2+(3-a)lnx2
=a（x₂²-x₂-lnx₂）+3lnx₂=+lnx₂-

3(x22-x2-lnx2)

2x22-x2-1

，（

1

4

＜x2＜

1

2

），
而f′(x2)=

(4x2-1)(x22-x2-lnx2)

(2x22-x2-1)2

＞0對于

1

4

＜x2＜

1

2

恒成立，
即f(x2) 在（

1

4

，

1

2

）上單調(diào)遞增，
故f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．

點評：本題主要考查單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．