Question

6．如圖，在三棱錐中P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°D為AC的中點(diǎn)，AB⊥PD
（I ）求證：BC丄平面PAB
（Ⅱ）如果三棱錐P-BCD的體積為3，求PA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的判定，證明OD⊥平面PAB，從而證明BC丄平面PAB；
（Ⅱ）利用三棱錐的體積公式，得到PA長(zhǎng)度的方程，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)為O，連結(jié)OD，OP．
因?yàn)镻A=PB，所以AB⊥OP．
又AB⊥PD，OP∩PD=P，所以AB⊥平面POD，
因?yàn)镺D?平面POD，所以AB⊥OD．…（3分）
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以O(shè)D⊥PB，
因?yàn)锳B∩PB=B，所以O(shè)D⊥平面PAB．
又OD∥BC，所以BC丄平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OP⊥平面ABC．
設(shè)PA=a，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以
V_P-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{24}$a³，…（10分）
由$\frac{\sqrt{3}}{24}$a³=3解得a=2$\sqrt{3}$，即PA=2$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、三棱錐體積計(jì)算，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．