Question

【題目】設(shè)F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，M，P，Q是拋物線上三個不同的動點(diǎn)，直線PM過點(diǎn)F，MQ∥OP，直線QP與MO交于點(diǎn)N．記點(diǎn)M，P，Q的縱坐標(biāo)分別為y0，y1，y2．

（1）證明：y0＝y1﹣y2；

（2）證明：點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2) 證明見解析

【解析】

（1） 由兩直線平行的條件：斜率相等，運(yùn)用直線的斜率公式，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上，化簡可得結(jié)論（2） 因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以，求得直線，的方程，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本�，交于點(diǎn)，化簡整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．

證明：（1） 因?yàn)?/span>MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，

所以，所以y0＝y1﹣y2；

（2） 因?yàn)橹本�PM過點(diǎn)F，

可得，

所以y1y0＝﹣4，

由（1）得y0＝y1﹣y2，所以y1，y2y0，

因?yàn)?/span>OM：yx，

PQ：y﹣y1（x），

即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，n），又因?yàn)橹本�QP，MO交于點(diǎn)N，

所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，

可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，

消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，

所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，

所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，

因?yàn)?/span>n2+4m2≠0，

所以2m+1＝0，即m，

所以點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為定值．