Question

15．己知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx，x∈R．
（1）證明：f（x）的最小正周期為2π；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）化簡得到f（x）=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$，由余弦函數(shù)為周為2π的函數(shù)可知f（x）周期為2π．
（2）使用換元法將問題轉(zhuǎn)化為g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有兩解問題，

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為2π．
（2）令cosx=t，g（t）=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{1}{2}$，
則f（x）-a=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個不同的實數(shù)解?g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有兩解．
∵g（t）=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{1}{2}$=（t+$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²-$\frac{11}{16}$．
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]單調(diào)遞減，在（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]單調(diào)遞增，
∵g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有兩解
∴g（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）＜a≤g（-1）．
即-$\frac{11}{16}$＜a≤$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
∴a的取值范圍是（-$\frac{11}{16}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的周期及函數(shù)單調(diào)性的應用，使用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是解題關鍵．