【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),a1=1,an+12=an2+ (n∈N*
(1)求證: ≤an<2(n≥2)
(2)求證:12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> (n∈N*

【答案】
(1)證明:∵an>0,an+12=an2+ ,∴an+1>an,

∴{an}是遞增數(shù)列.

由a1=1,得a2= ,

當(dāng)n≥2時(shí),an+12﹣an2=

∴an2﹣an12 ,an12﹣an22 ,…,a32﹣a22

以上各式相加得:an2﹣a22 + +…+ ),

+ +…+ + +…+ =( + +… )=

∴an2﹣2≥ ,即an2≥2+ ,

∴an

又an+12=an2+ =(an+ 2 <(an+ 2,

∴an+1<an+ ,即an+1﹣an ,

∴an﹣an1 ,an1﹣an2 ,…,a3﹣a2 ,a2﹣a1 ,

以上各式相加得:an﹣a1 + +…+ )< (1+ + +…+ )= (2﹣ )<1,

∴an<a1+1=2


(2)證明:∵an+12=an2+ ,

∴n2(an+12﹣an2)=an

∴n2(an+1﹣an)= = ,

又an+1﹣an= ,

∴n2(an+1﹣an)=

∴12(a2﹣a1)+22(a3﹣a2)+…+n2(an+1﹣an)> + + +…+

(1+ + +…+ )= (1+1﹣ )>


【解析】(1)由條件得an2﹣an12 ,an12﹣an22 ,…,a32﹣a22 ,各式累加后放縮得出結(jié)論;(2)由條件得n2(an+1﹣an)= = ,各式累加后放縮得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和不等式的證明的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.

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