Question

1．若拋物線(xiàn)C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線(xiàn)C₁上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C₂的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$，則雙曲線(xiàn)C₂的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，利用拋物線(xiàn)C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再利用拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合拋物線(xiàn)C₁上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C₂的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$，可得c²+1=5，從而可求雙曲線(xiàn)的幾何量，可得結(jié)論．

解答 解：拋物線(xiàn)C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)F（0，1），雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)方程為bx-ay=0，
∵拋物線(xiàn)C₁：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵直線(xiàn)y=-1是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)C₁上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C₂的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$，
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，當(dāng)P，F(xiàn)及雙曲線(xiàn)C₂的一個(gè)焦點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，
∴c²+1=5，
∴c=2，
∵c²=a²+b²，
∴b=$\sqrt{3}$，a=1，
∴雙曲線(xiàn)的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．