1.若拋物線(xiàn)C1:y=$\frac{1}{4}$x2的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,拋物線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C2的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$,則雙曲線(xiàn)C2的方程為( 。
A.$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1B.x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1C.$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1D.$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

分析 確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo),雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,利用拋物線(xiàn)C1:y=$\frac{1}{4}$x2的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,再利用拋物線(xiàn)的定義,結(jié)合拋物線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C2的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$,可得c2+1=5,從而可求雙曲線(xiàn)的幾何量,可得結(jié)論.

解答 解:拋物線(xiàn)C1:y=$\frac{1}{4}$x2的焦點(diǎn)F(0,1),雙曲線(xiàn)C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為bx-ay=0,
∵拋物線(xiàn)C1:y=$\frac{1}{4}$x2的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵直線(xiàn)y=-1是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn),拋物線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C2的一個(gè)焦點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)y=-1的距離之和的最小時(shí)為$\sqrt{5}$,
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知,當(dāng)P,F(xiàn)及雙曲線(xiàn)C2的一個(gè)焦點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小,
∴c2+1=5,
∴c=2,
∵c2=a2+b2,
∴b=$\sqrt{3}$,a=1,
∴雙曲線(xiàn)的方程為x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查拋物線(xiàn)的定義,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.已知函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+4,-3≤x≤0\\{x^2}-2x,0<x<4\\-x+2,4≤x≤5\end{array}\right.$,則f[f(f(2))]=( 。
A.2B.-2C.4D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.某市一高中二年級(jí)在期中考試后進(jìn)行了研學(xué)活動(dòng),旅行社推出6條研學(xué)路線(xiàn)--A:歷史,B:人文,C:詩(shī)歌,D:科技,E:政風(fēng),F(xiàn):探秘.
(Ⅰ)假設(shè)每條線(xiàn)路被選中的可能性相同,若從上述6條線(xiàn)路中隨機(jī)選擇4條線(xiàn)路進(jìn)行研學(xué).求歷史與科技兩條線(xiàn)路都被選中的概率;
(Ⅱ)研學(xué)結(jié)束后,學(xué)校從參加研學(xué)的所有學(xué)生中,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生參加對(duì)本次研學(xué)滿(mǎn)意度的調(diào)查,滿(mǎn)意度得分的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
滿(mǎn)意度得分[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
人數(shù)029265211
試估算學(xué)生對(duì)本次研學(xué)滿(mǎn)意度的平均得分.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.給出以下命題:
(1)函數(shù)f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$與函數(shù)g(x)=|x|是同一個(gè)函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1);
(3)設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,若關(guān)于x的方程f(x)=$\frac{m-1}{m+1}$有負(fù)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,+∞);
(4)若f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+t(x≥0)}\\{g(x)(x<0)}\end{array}\right.$為奇函數(shù),則f(f(-2))=-7;
(5)設(shè)集合M={m|函數(shù)f(x)=x2-mx+2m的零點(diǎn)為整數(shù),m∈R},則M的所有元素之和為15.
其中所有正確命題的序號(hào)為( 。
A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(5)C.(2)(4)(5)D.(1)(3)(4)

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16.將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移φ個(gè)單位得到函數(shù)y=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x的圖象,則φ的一個(gè)可能取值為( 。
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{2π}{3}$D.$\frac{5π}{6}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$)的圖象如圖所示,若函數(shù)g(x)=3[f(x)]3-4f(x)+m在x$∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$上有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{13}{8}$,$\frac{16}{9}$].

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13.若二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c滿(mǎn)足f(0)=f(-2),且f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式f(x)>x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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10.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),定義域?yàn)镽,在[0,+∞)上是增函數(shù),且f(-1)=0,則f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤0}.

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11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+2(a,b∈R)
(1)若此二次函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=1,求f(x)的解析式,并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間;
(2)在(1)的條件下,f(x)>x+m在區(qū)間[1,3]上恒成立,試求m的范圍.

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