Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示，若函數(shù)g（x）=3[f（x）]³-4f（x）+m在x$∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]．

Answer 1

分析 利用由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象可求得A，T，從而可得ω，又曲線經(jīng)過（$\frac{2π}{3}$，0），|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式，將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題，由導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，即可確定m的取值范圍．

解答 解：由圖知T=4（$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（$\frac{2π}{3}$）=0，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
∴φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
由f（x）的圖象可知，對于f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1）上的每一個(gè)值，對應(yīng)著[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的兩個(gè)x值，
又g（x）=3[f（x）]³-4f（x）+m=0，?m=-3[f（x）]³+4f（x）有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
令f（x）=t，則m=-3t³+4t．
∵m′=-9t²+4=-9（t+$\frac{2}{3}$）（t-$\frac{2}{3}$），
∴m=-3t³+4t在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{2}{3}$，1]上單調(diào)遞減，
而當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，m=$\frac{13}{8}$；當(dāng)t=$\frac{2}{3}$時(shí)，m=$\frac{16}{9}$；當(dāng)t=1時(shí)，m=1，
結(jié)合圖象可知，對于m∈[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]上的每一個(gè)值，對應(yīng)著t=f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1）上的兩個(gè)值，進(jìn)而對應(yīng)著[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的4個(gè)x值．
故答案為：[$\frac{13}{8}$，$\frac{16}{9}$]．

點(diǎn)評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ的值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查識圖與運(yùn)算求解能力，此外還考查了復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一元二次方程的實(shí)根分布，以及換元法和數(shù)形結(jié)合法的解題思想，屬于基本知識的考查．