Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+2（a，b∈R）
（1）若此二次函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=1，求f（x）的解析式，并寫出其單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，f（x）＞x+m在區(qū)間[1，3]上恒成立，試求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)f（x）的最小值為f（-1）=1，推出對稱軸以及函數(shù)值，求解ab，得到函數(shù)的解析式．找出單調(diào)區(qū)間．
（2）通過分離變量，得到m的不等式，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）由題意有f（-1）=a-b+2=1，
且-$\frac{2a}$=-1，∴a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+2，單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）．
（2）f（x）＞x+m在區(qū)間[1，3]上恒成立，
即為x²+x+2＞m在[1，3]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²+x+2，x∈[1，3]，
則g（x）在[1，3]上遞增，∴g（x）_min=g（1）=4．
∴m＜4，即m的取值范圍為（-∞，4）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．