Question

4．已知在平面坐標系內(nèi)，O為坐標原點，向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），點M為直線OP上的一個動點．
（I）當$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值時，求向量$\overrightarrow{OM}$的坐標；
（II）在點M滿足（I）的條件下，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，利用平面向量的坐標表示與運算法則，即可求出對應(yīng)$\overrightarrow{OM}$的值；
（Ⅱ）利用平面向量的夾角余弦公式，即可求出對應(yīng)的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，
∵點M為直線OP上的一個動點，
∴向量$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OP}$共線，
∴x-2y=0；
即$\overrightarrow{OM}=（{2y，y}）$，…（2分）
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=（1-2y，7-y），
$\overrightarrow{MB}$=（5-2y，1-y），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{1-2y}）（{5-2y}）+（{7-y}）（{1-y}）=5{（{y-2}）^2}-8$；…（4分）
∴當且僅當y=2時得${（{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}）_{min}}=-8$，此時$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$；…（6分）
（Ⅱ）當$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$時，$\overrightarrow{MA}=（{-3，5}），\overrightarrow{MB}=（{1，-1}）$；…（7分）
∴$cos∠AMB=\frac{{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}}{{|{\overrightarrow{MA}}|•|{\overrightarrow{MB}}|}}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}-\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$；…（9分）
∴∠AMB的余弦值為$-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．…（10分）

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，也考查了學生的計算能力，是基礎(chǔ)題目．