Question

19．已知數列{a_n}當n≥2時滿足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，且a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，S_n是數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和，則S₄=7．

Answer 1

分析 數列{a_n}當n≥2時滿足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，設公差為d．由$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，可得$\frac{3}{{a}_{5}}$=9，解得$\frac{1}{{a}_{5}}$=3．由a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，可得$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}{a}_{7}}$=24，因此（3-2d）×3×（3+2d）=24，解出d，進而得出．

解答 解：∵數列{a_n}當n≥2時滿足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，設公差為d．
∵$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，
∴$\frac{3}{{a}_{5}}$=9，解得$\frac{1}{{a}_{5}}$=3．
∵a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，∴$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}{a}_{7}}$=24，
∴（3-2d）×3×（3+2d）=24，
解得d=$±\frac{1}{2}$．
d=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$+（n-5）d=3+$\frac{1}{2}（n-5）$=$\frac{n+1}{2}$．
∴S₄=$\frac{2+3+4+5}{2}$=7．
d=-$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$+（n-5）d=3-$\frac{1}{2}（n-5）$=$\frac{11-n}{2}$．（舍去，n=11時不存在）．
綜上可得：S₄=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其求和公式與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．