Question

13．已知n∈N^*，設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a_n（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）．
（Ⅰ）通過研究a₁，a₂，a₃的值的規(guī)律，求a_n的通項(xiàng)公式；   
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}＜\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出當(dāng)n=1，2，3時(shí)，平面區(qū)域?yàn)镈_n，求出a₁，a₂，a₃的值，歸納可得a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分析法，合理放縮式子，再由裂項(xiàng)相消法，可證得結(jié)論．

解答 解：∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，
當(dāng)n=1，2，3時(shí)，平面區(qū)域?yàn)镈_n如下圖所示：

則a₁=1+2+3=6，
a₂=1+3+5=9，
a₃=1+4+7=12-------（3分）
即①y=2時(shí)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，y=2與x-ny=0的交點(diǎn)為2n，所以y=0的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2n+1
②y=1時(shí)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1，y=1 x-ny=0的交點(diǎn)為n，所以y=0的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1
③y=0時(shí)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2n+1
所以a_n=1+（n+1）+（2n+1）=3（n+1）-------------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 要證$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}＜\frac{1}{12}$，
即證：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{3}{4}$-------------（8分）
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$------------------------------（10分）
=$\frac{1}{4}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{n+1}＜\frac{3}{4}$-------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．