Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓上有P，Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)從圓上一點(diǎn)A（1，0）出發(fā)，分別以每秒$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$的旋轉(zhuǎn)角速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，記P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)x=6時(shí)，求∠QOM的大��；
（2）當(dāng)0＜x≤8時(shí)，試用x表示線段OM的長度，并求OM長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=6時(shí)，P，Q分別在x，y軸的負(fù)半軸上，即可求∠QOM的大��；
（2）當(dāng)0＜x≤8時(shí)，∠QOM=$\frac{π}{24}$x，OM=cos$\frac{π}{24}$x，即可求OM長度的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)x=6時(shí)，P，Q分別在x，y軸的負(fù)半軸上，弦PQ的中點(diǎn)為M，∴∠QOM=$\frac{π}{4}$；
（2）當(dāng)0＜x≤8時(shí)，∠QOM=$\frac{π}{24}$x，∴OM=cos$\frac{π}{24}$x，
∵0＜x≤8，∴0＜$\frac{π}{24}$x≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{24}$x=$\frac{π}{3}$，即x=8時(shí)，OM長度的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．