Question

給出下列命題；
①設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則[log₂1]+[og₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]=649；
②定義在R上的函數(shù)f（x），函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=

x-1

2x+1

的對(duì)稱中心為（-

1

2

，-

1

2

）；
④定義：若任意x∈A，總有a-x∈A（A≠∅），就稱集合A為a的“閉集”，已知A⊆{1，2，3，4，5，6} 且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有7個(gè)．其中正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：由[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，分別求出各項(xiàng)求和即得，即可判斷①；
令x-1=t，則1-x=-t，有y=f（t）與y=f（-t）的圖象關(guān)于t=0對(duì)稱，即可判斷②；
對(duì)函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)整理，可得f（x）的圖象可由y=-

3 4

x

的圖象向左平移

1

2

個(gè)單位，再向上平移

1

2

個(gè)單位得到，故f（x）關(guān)于（-

1

2

，

1

2

）對(duì)稱，即可判斷③；
根據(jù)已知中“閉集”的定義，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，[log₂1]+[og₂2]+[log₂3]+…+[log₂127]+[log₂128]
=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7=649，故①對(duì)；
對(duì)于②，令x-1=t，則1-x=-t，有y=f（t）與y=f（-t）的圖象關(guān)于t=0對(duì)稱，
即有函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=

x-1

2x+1

=

x+ 1 2 - 3 2

2(x+ 1 2 )

=

1

2

-

3 4

x+ 1 2

，由于y=-

3 4

x

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而f（x）的圖象可由y=-

3 4

x

的圖象向左平移

1

2

個(gè)單位，再向上平移

1

2

個(gè)單位得到，
故f（x）關(guān)于（-

1

2

，

1

2

）對(duì)稱，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7個(gè)，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性及運(yùn)用，考查新定義的理解和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．