【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0),定義橢圓C上的點(diǎn)M(x0,y0)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓C上的點(diǎn)M的“伴隨點(diǎn)”N的軌跡方程;
(2)如果橢圓C上的點(diǎn)(1,)的“伴隨點(diǎn)”為(,),對于橢圓C上的任意點(diǎn)M及它的“伴隨點(diǎn)”N,求的取值范圍;
(3)當(dāng)a=2,b=時(shí),直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B的“伴隨點(diǎn)”分別是P,Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求△OAB的面積.
【答案】(1)x2+y2=1,(2),(3)
【解析】
(1)由代入橢圓方程即可求得橢圓C上的點(diǎn)M的“伴隨點(diǎn)”N的軌跡方程;
(2)由題意,求得橢圓的方程,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得
(3)求得橢圓方程,設(shè)方程為,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)求得,弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得的面積,直線的斜率不存在時(shí),設(shè)方程為,代入橢圓方程,即可求得的面積.
(1)設(shè),由題意,則 .
又,所以
.
(2)由橢圓C上的點(diǎn)(1,)的“伴隨點(diǎn)”為(,)
則,得,又,則.
點(diǎn),在橢圓上,,,且
由于,的取值范圍是.
(3)設(shè),則
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,由 .
得 .
則
①
由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得:,即.
又
整理得: ②
將①代入②得:
,則,
所以.
又點(diǎn)到直線的距離
所以
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)其方程為
聯(lián)立橢圓方程得 ,得.
解得:,從而.
綜上:的面積是定值.
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【題目】對于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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【題目】據(jù)環(huán)保部門測定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距18km的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為a,b,它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1,且x=6時(shí),y取得最小值,試求b的值.
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【題目】年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)獲得者威廉·凱林(WilliamG.KaelinJr)在研究腎癌的抑制劑過程中使用的輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí),滴管內(nèi)勻速滴下液體(滴管內(nèi)液體忽略不計(jì)),設(shè)輸液開始后分鐘,瓶內(nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為厘米,已知當(dāng)時(shí),.如果瓶內(nèi)的藥液恰好分鐘滴完.則函數(shù)的圖像為( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,點(diǎn)是的中點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差(最高溫度與最低溫度的差)大小與某反季節(jié)大豆新品種一天內(nèi)發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月6日每天晝夜最高、最低的溫度(如圖甲),以及實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)情況(如圖乙),得到如下資料:
最高溫度最低溫度
甲
乙
(1)請畫出發(fā)芽數(shù)y與溫差x的散點(diǎn)圖;
(2)若建立發(fā)芽數(shù)y與溫差x之間的線性回歸模型,請用相關(guān)系數(shù)說明建立模型的合理性;
(3)①求出發(fā)芽數(shù)y與溫差x之間的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
②若12月7日的晝夜溫差為,通過建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計(jì)該實(shí)驗(yàn)室12月7日當(dāng)天100顆種子的發(fā)芽數(shù).
參考數(shù)據(jù):.
參考公式:
相關(guān)系數(shù):(當(dāng)時(shí),具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系).
回歸方程中斜率和截距計(jì)算公式:.
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【題目】已知A、B、C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積.
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
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② 若都是偶函數(shù),則函數(shù)為偶函數(shù).
③ 若都是增函數(shù),則函數(shù)為增函數(shù).
④ 若都是減函數(shù),則函數(shù)為減函數(shù).
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