Question

8．對于不等式1+$\sqrt{6}$＜$\sqrt{3}$+2，$\sqrt{2}$$+\sqrt{7}$＜2+$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$＜$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$，它們都是正確的．
（Ⅰ） 根據(jù)上面不等式的規(guī)律，猜想$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+5}$與$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+3}$（n∈N⁺）的大小并加以證明：
（Ⅱ） 若不等式$\sqrt{n+a}$+$\sqrt{n+b}$＜$\sqrt{n+c}$+$\sqrt{n+d}$（n∈N^*）成立，請你寫出a，b，c，d所滿足的一個等式和一個不等式，不必證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）猜想，并用分析法證明即可；
（Ⅱ）結合（Ⅰ）可得到一個答案．

解答 解：（Ⅰ）猜想$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+5}$＜$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+3}$（n∈N⁺），
證明如下：
因為n∈N⁺，要證$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+5}$＜$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+3}$，
只需證（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+5}$）²＜（$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+3}$）²，
即證n+2$\sqrt{n（n+5）}$+n+5＜n+2+2$\sqrt{（n+2）（n+3）}$+n+3，
即證$\sqrt{n（n+5）}$＜$\sqrt{（n+2）（n+3）}$，
只需證n（n+5）＜（n+2）（n+3），
即證0＜6，顯然成立，
故$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+5}$＜$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+3}$（n∈N⁺），
（Ⅱ）如a+b=c+d，ab＜cd

點評 本題考查了分析法證明不等式成立，屬于中檔題．