Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a的極大值為2．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）在[b，b+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)先求導數(shù)，并且得到函數(shù)的兩個極值點，判定兩側的單調(diào)性，得到極大值點，代入得到極大值，求得實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，討論極值點與區(qū)間[b，b+1]的關系，從而得到區(qū)間的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性討論函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）依題意：f′（x）=x²-4x+3=（x-3）（x-1），
所以f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極大值，即f（1）=$\frac{1}{3}$-2+3-a=2，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
①當b+1≤1，即b≤0時，f（x）在[b，b+1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
②當b≤1＜b+1，即0＜b≤1時，f（x）在[b，1]上單調(diào)遞增，在[1，b+1]上單調(diào)遞減，
f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（1）=2；
③當b＞1且b+1≤3，即1＜b≤2時，f（x）在[b，b+1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
④當3＜b+1，即b＞2時，令f（b）=f（b+1），得b=$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$或b=$\frac{9-\sqrt{33}}{6}$（舍去）
當2＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$；
當b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
綜上可知：
當b≤0或b＞$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b+1）=$\frac{^{3}}{3}$-b²+2；
當0＜b≤1時，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（1）=2；
當1＜b≤$\frac{9+\sqrt{33}}{6}$時，f（x）在[b，b+1]上的最大值為f（b）=$\frac{^{3}}{3}$-2b²+3b+$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．