Question

已知雙曲線T：x²-

y2

4

=1
（1）過點(diǎn)P（1，-1）能否作雙曲線T的弦AB，使得點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)？
（2）我們稱橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為格點(diǎn)，試求出所有格點(diǎn)M的集合，使得過M任意弦，都不以M為中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）假設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)，則設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)在雙曲線上，滿足雙曲線方程，運(yùn)用作差，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，求出斜率，得到弦的方程，代入雙曲線方程，得到二次方程，檢驗(yàn)判別式是否大于0，即可判斷；
（2）設(shè)以M（m，n）為中點(diǎn)的弦的方程為y-n=k（x-m），代入雙曲線的方程，運(yùn)用兩根之和，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到，kn=4m，當(dāng)k為任意的實(shí)數(shù)時(shí)，有m=n=0，進(jìn)而得到所求格點(diǎn)M的集合．

解答： 解：（1）假設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)，則設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，①4x₁²-y₁²=4，②4x₂²-y₂²=4，③
③-②，得4（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
代入①，得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-4，
則有AB：y+1=-4（x-1），即為y=-4x+3，
代入雙曲線方程，可得12x²-24x+13=0，
由于判別式為24²-4×12×13=-48＜0，
則方程無實(shí)數(shù)解，
則這樣的弦AB不存在；
（2）設(shè)以M（m，n）為中點(diǎn)的弦的方程為y-n=k（x-m），
即為y=kx+n-km，
代入雙曲線方程，消去y，得，（4-k²）x²-2k（n-km）x-（n-km）²-4=0，
設(shè)弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₃，y₃），（x₄，y₄）
則x₃+x₄=

2k(n-km)

4-k2

，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，

2k(n-km)

4-k2

=2m，
化簡(jiǎn)得，kn=4m，
當(dāng)k為任意的實(shí)數(shù)時(shí)，有m=n=0，
即有過（0，0）的任意弦，都以M為中點(diǎn)，
則點(diǎn)M滿足集合{（x，y）|x≠0或y≠0，且x∈Z，y∈Z}，
使得過M任意弦，都不以M為中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查求中點(diǎn)弦問題常用的點(diǎn)差法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．