Question

證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．（n＞1，n∈N₊）

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,不等式的證明

專題：歸納法,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n取初始值2時(shí)，代入原不等式中，可得到驗(yàn)證；假設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立，寫出n=k+1時(shí)，不等式左邊的和式，再設(shè)法將其放大到k+1，從而由n=k時(shí)成立，推出n=k+1時(shí)也成立，根據(jù)歸納法原理，即可得知，原不等式對(duì)所有的n＞1，n∈N₊都成立．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，1+

1

2

+

1

3

=

11

6

＜2，原不等式成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＜k，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…

1

2k+2k-1

＜k+

1

2k

+

1

2k

…+

1

2k

=k+

1

2k

•2k=k+1．
即n=k+1時(shí)，原不等式也成立．
綜合（1）、（2）知，對(duì)一切n＞1，且n∈N₊，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，證明時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①對(duì)于初始值的驗(yàn)證與歸納假設(shè)，二者缺一不可；
②當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)弄清不等式左邊有多少項(xiàng)，以及各項(xiàng)是什么；
③必須利用歸納假設(shè)，并適當(dāng)?shù)胤趴s到n=k+1時(shí)不等式右邊的情形．