【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求證:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在線段CC1上是否存在點(diǎn)P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)證明:∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱,
∴AA1⊥平面ABCD,且ABCD為正方形.
∵BD平面ABCD,∴BD⊥AA1,BD⊥AC
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C平面A1AC,
∴BD⊥A1C.
(Ⅱ)解:如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.
則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),
C1(0,2,4),D1(0,0,4),
∵ =(2,0,0), =(0,2,﹣4).
設(shè)平面A1D1C的法向量 =(x1,y1,z1).
∴ .即 ,
令z1=1,則y1=2.∴ =(0,2,1).
由(Ⅰ)知平面AA1C的法向量為 =(2,2,0)
∴cos< >= = .
∵二面角A﹣A1C﹣D1為鈍二面角,
∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值為﹣ .
(Ⅲ)解:設(shè)P(x2,y2,z2)為線段CC1上一點(diǎn),且 = .
∵ =(x2,y2﹣2,z2), =(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).
∴(x2,y2﹣2,z2)=λ(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).
即 .
∴P(0,2, ).
設(shè)平面PBD的法向量 .
∵ , ,
∴ .即 .
令y3=1,得 =(﹣1,1,﹣ ).
若平面A1CD1⊥平面PBD,則 =0.
即2﹣ =0,解得 .
所以當(dāng) = 時(shí),平面A1CD1⊥平面PBD
【解析】(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AA1,BD⊥AC,從而得到BD⊥平面A1AC,由此能證明BD⊥A1C.(Ⅱ) 以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值.(Ⅲ)設(shè)P(x2,y2,z2)為線段CC1上一點(diǎn),且 = ,利用向量法能求出當(dāng) = 時(shí),平面A1CD1⊥平面PBD.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的性質(zhì)和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行;垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: + =1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(Ⅱ)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作直線l與拋物線分別交于兩點(diǎn)A,B,若點(diǎn)M滿足 = ( + ),過(guò)M作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若|PF|=2,則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,
PC⊥底面ABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為:“有一個(gè)人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地.”問(wèn)此人第4天和第5天共走了( )
A.60里
B.48里
C.36里
D.24里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】利用如圖算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點(diǎn),則打印的點(diǎn)在圓x2+y2=25內(nèi)的個(gè)數(shù)為( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asinB+bcosA=0.
(1)求角A的大小;
(2)若 ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).
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