Question

若對于一切實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）：
（1）求f（0），并證明f（x）為奇函數； 
（2）若f（1）=3，求f（-5）．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用已知條件直接反證法，求f（0），然后通過反證法結合函數的奇偶性的定義，證明f（x）為奇函數； 
（2）通過已知條件化簡f（-5=5f（-1），利用f（1）=3，即可求f（-5）．

解答： 解：（1）由于對一切實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
故在上式中可令x=y=0，則有：f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．…（2分）
再令 y=-x，則有：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
所以：f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數．…（5分）
（2）由于f（x）為奇函數，且f（x+y）=f（x）+f（y），
f（-5）=f[（-1）+（-1）+（-1）+（-1）+（-1）]=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）
=5f（-1）=-f（1）=-5×3=-15…（8分）

點評：本題考查抽象函數的應用，函數的奇偶性的證明，考查計算能力．