Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）正項(xiàng)等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T₃=9，并滿足a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+$\frac{1}{2}{b_3}$成等比數(shù)列．
（ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（ⅱ）試確定$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{b_i^2}}$與$\frac{3}{4}$的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=S_n+n，得到a_n+1-a_n=S_n-S_n-1+1=a_n+1，推出{a_n+1}的數(shù)列特征，然后求解{a_n}的通項(xiàng)公式．．
（Ⅱ）（�。├�用數(shù)列的和，結(jié)合等差數(shù)列即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=b₁+（n-1）d=n+1．
（ⅱ）通過數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用放縮法以及列項(xiàng)求和，推出結(jié)果即．

解答 （本題13分）
（Ⅰ）解：由a_n+1=S_n+n，得a_n=S_n-1+（n-1）（n＞1），…（1 分）
兩式相減，得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1+1=a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1）（n＞1）．…（2 分）
∵a₁=2，
∴a₂=S₁+1=a₁+1=3．…（3 分）
∴${a_n}+1={2^{n-2}}（{a_2}+1）={2^n}$（n＞1）．…（4 分）
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2，n={1_{\;}}}\\{{2^n}-1{，_{\;}}n＞1}\end{array}}\right.$…（5 分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）∵{b_n}為等差數(shù)列，且T₃=9，
∴b₂=3．…（6 分）
設(shè){b_n}的公差為d，則b₁=3-d，b₃=3+d．
∵a₁=2，a₂=3，a₃=7，
∴a₁+b₁=5-d，a₂+b₂=6，${a_3}+\frac{1}{2}{b_3}=\frac{17}{2}+\frac{1}{2}d$．…（7 分）
∵a₁+b₁，a₂+b₂，${a_3}+\frac{1}{2}{b_3}$成等比數(shù)列，
∴（5-d）（17+d）=72．
∴d=1或d=-13（不合題意，舍去）．…（8 分）
∴b_n=b₁+（n-1）d=n+1．…（9 分）
（ⅱ）∵$\frac{1}{b_k^2}=\frac{1}{{{{（k+1）}^2}}}＜\frac{1}{{{{（k+1）}^2}-1}}=\frac{1}{k（k+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}）$（k∈N*），（10分）
∴$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{b_i^2}＜\frac{1}{2}}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$…（11分）
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和，放縮法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．