Question

19．已知平面向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a}$⊥$\overrightarrow b}$，且{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|，|$\overrightarrow c$|}={1，2，3}，則|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最大值是3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分別以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$所在的直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，分類討論：當(dāng){|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，2}，|$\overrightarrow{c}$|=3，設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，則x²+y²=9，則$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，2+y），有|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+2）^{2}}$的最大值，其幾何意義是圓x²+y²=9上點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-1，-2）的距離的最大值；其他情況同理，然后求出各種情況的最大值進(jìn)行比較即可．

解答 解：分別以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$所在的直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，
①當(dāng){|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，2}，|$\overrightarrow{c}$|=3，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（1，2）$，
設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，則x²+y²=9，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，2+y），
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+2）^{2}}$的最大值，其幾何意義是圓x²+y²=9上點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-1，-2）的距離的最大值為$3+\sqrt{（0+2）^{2}+（0+1）^{2}}$=3+$\sqrt{5}$；
②且{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={1，3}，|$\overrightarrow{c}$|=2，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（1，3）$，x²+y²=4，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（1+x，3+y）
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+3）^{2}}$的最大值，其幾何意義是圓x²+y²=4上點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-1，-3）的距離的最大值為2+$\sqrt{（0+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=2+$\sqrt{10}$，
③{|$\overrightarrow a$|，|$\overrightarrow b$|}={2，3}，|$\overrightarrow{c}$|=1，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（2，3）$，
設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，則x²+y²=1
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=（2+x，3+y）
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+（y+3）^{2}}$的最大值，其幾何意義是在圓x²+y²=1
上取點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-2，-3）的距離的最大值為1+$\sqrt{（0+2）^{2}+（0+3）^{2}}$=1+$\sqrt{13}$
∵$1+\sqrt{13}＜3+\sqrt{5}，2+\sqrt{10}＜3+\sqrt{5}$，
故|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最大值為3+$\sqrt{5}$．
故答案為：3+$\sqrt{5}$

點(diǎn)評 本題主要考查了向量的模的求解，解題的關(guān)鍵是圓的性質(zhì)的應(yīng)用：在圓外取一點(diǎn)，使得其到圓上點(diǎn)的距離的最大值：r+d（r為該圓的半徑，d為該點(diǎn)與圓心的距離）．