Question

15．設(shè)$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夾角為60°的單位向量，則2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，求出相應(yīng)的長(zhǎng)度和數(shù)量積即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夾角為60°的單位向量，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°=$\frac{1}{2}$，
則（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）=6$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow b$²-$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=6-2$-\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4+2+1}$=$\sqrt{7}$，
|3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{13-6}$=$\sqrt{7}$，
∴2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夾角α滿足cosα=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow||3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$，
即α=60°，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量夾角的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用分別求出向量長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．