Question

19．已知拋物線：x²=2y，過直線y=2x-3上任意一點P作拋物線的切線，切點分別為A，C
（I）求證：直線AC過定點M，并求出M點；
（Ⅱ）記直線AP，CP的斜率分別為k₁，k₂，若k₁•k₂=-2，求△ACP的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₁²），P（x₀，y₀），可求切線PA，切線PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，設直線AC的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x₀=k，y₀=-b，代入y₀=2x₀-3得-b=2k-3，從而可求直線AC的方程，即可得到定點；
（Ⅱ）由題意可得y₀=-1，求得P的坐標和直線AC的斜率和方程，代入拋物線的方程，可得交點A，C，由兩點的距離公式可得|AC|，由點到直線的距離公式可求點P到直線AC的距離d，由三角形面積公式即可得解．

解答 （Ⅰ）證明：設A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀），
因為y′=（$\frac{1}{2}$x²）′=x，所以切線PA的方程是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
即y+$\frac{1}{2}$x₁²=x₁x ①，同理切線PC的方程是y+$\frac{1}{2}$x₂²=x₂x ②
代入P（x₀，y₀），
由①②得$\frac{1}{2}$t²-x₀t+y₀=0，且x₁，x₂為方程的兩根，
可得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，顯然直線AC存在斜率．
設直線AC的方程是y=kx+b，代入x²=2y得x²-2kx-2b=0，
所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
即x₀=k，y₀=-b，③
代入y₀=2x₀-3得-b=2k-3，
可得直線AC的方程是y-3=k（x-2），恒過定點M（2，3）；
（Ⅱ）解：k₁•k₂=-2，可得x₁x₂=2y₀=-2，可得y₀=-1，
由y₀=2x₀-3，即有P（1，-1），
k_AC=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x₀=1，
直線AC的方程為y-3=x-2，即為x-y+1=0，
代入拋物線x²=2y，可得x²-2x-2=0，
解得x=1±$\sqrt{3}$，
可得A（1+$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），C（1-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$）．
即有|AC|=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
由P到直線AC的距離為d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
可得△ACP的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AC|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{6}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，兩點間距離公式，點到直線距離公式，直線的方程等知識的應用，屬于中檔題．