Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=1nx-ax，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若a=1，求證：f（x）≤-1恒成立；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上任意兩點(diǎn)的連線段的斜率都小于4，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）若方程f（x）=-$\frac{a-1}{2}$x²有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的最大值即可得出結(jié)論；
（2）利用中值定理得出f′（x）＜4在（1，+∞）上恒成立，使用分離參數(shù)法求出a的范圍即可；
（3）分離參數(shù)得a=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$，求出右側(cè)函數(shù)的值域即為a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：a=1時(shí)，f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}-1$．
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值f（1）=-1．
∴f（x）≤-1．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上任意兩點(diǎn)的連線段的斜率都小于4，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-a$＜4在（1，+∞）上恒成立，即a＞$\frac{1}{x}-4$在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}-4$，則g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，g（1）=-3．
∴a≥-3．
即a的最小值為-3．
（3）由f（x）=-$\frac{a-1}{2}{x}^{2}$得lnx-ax+$\frac{a-1}{2}{x}^{2}$=0，∴a=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$．
令h（x）=$\frac{2lnx-{x}^{2}}{2x-{x}^{2}}$，得h′（x）=$\frac{2（x-1）（2lnx-x-2）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$．
令m（x）=2lnx-x-2，則m′（x）=$\frac{2}{x}-1$，
∴m（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴m_max（x）=m（1）=-3＜0．∴m（x）=2ln-x-2＜0．
令h′（x）=$\frac{2（x-1）（2lnx-x-2）}{（2x-{x}^{2}）^{2}}$=0得x=1，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1且x≠2時(shí)，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
∵h(yuǎn)（1）=-1，當(dāng)x→2⁺時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→2^-時(shí)，h（x）→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→1．
∴h（x）的值域?yàn)椋?∞，-1]∪（1，+∞）．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．