Question

已知P為橢圓C：

x2

12

+

y2

b2

=1﹙0＜b＜2

3

﹚上異于長軸端點A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到Q，使

HP

=

PQ

，此時Q恰好在以AB為直徑的圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若F₁、F₂為橢圓C的左右焦點，N（0，3），請問在橢圓C上是否存在一點M，使MN-MF₁最小，若存在，求出最小值及此時的M點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點P（m，n），由題設得，Q（m，2n），由Q恰好在以AB為直徑的圓上，則AQ⊥BQ，由垂直的條件得到方程，同時點P在橢圓上得到方程，兩方程聯(lián)立，求出b²=3，從而得到橢圓方程；
（2）由橢圓的定義可得，MF₁+MF₂=4

3

，則MN-MF₁=MN-（4

3

-MF₂）=MN+MF₂-4

3

，直接連NF₂，即可得到最小值，由直線NF₂和橢圓求得交點M．

解答： 解：（1）設點P（m，n），則由題設得，
Q（m，2n），
又A（-2

3

，0），B（2

3

，0），
由Q恰好在以AB為直徑的圓上，則AQ⊥BQ，
則有

2n

m+2 3

•

2n

m-2 3

=-1．
即有m²+4n²=12，

m2

12

+

n2

3

=1．
又

m2

12

+

n2

b2

=1，則b²=3，
故橢圓C的方程

x2

12

+

y2

3

=1；
（2）由橢圓的定義可得，MF₁+MF₂=4

3

，
且F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），N（0，3），
則MN-MF₁=MN-（4

3

-MF₂）=MN+MF₂-4

3

≥NF₂-4

3

=3

2

-4

3

．
由直線NF₂：x+y=3和橢圓x²+4y²=12，求得M（

12-2 6

5

，

3+2 6

5

）．
故在橢圓C上存在一點M，且為M（

12-2 6

5

，

3+2 6

5

）．使MN-MF₁最小，且為3

2

-4

3

．

點評：本題考查橢圓的方程、定義和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出交點，同時考查直徑所對的圓周角為直角，運用直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．