Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R）．
（1）當函數(shù)f（x）的圖象過點（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得a-b+1=0，△=b²-4a=0．由此能求出f（x）=（x+1）²；
（2）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．由此能求出k≥6或k≤-2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．

解答： 解：（1）因為f（-1）=0，所以a-b+1=0．
因為方程f（x）=0有且只有一個根，
所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．
即b=2，a=1．
所以f（x）=（x+1）²；
（2）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx
=x²-（k-2）x+1
=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．
所以當

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的表達式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．