Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an為奇數(shù) an 2k ，an為偶數(shù)，其中k為使an+1為奇數(shù)的正整數(shù)

，則當(dāng)a₁=1時(shí)，S₂₀=

 

．變：若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，則p=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a₁=1，可得a₂=3a₁+5=8，a₃=

8

2k

，根據(jù)題意當(dāng)k=3時(shí)，a₃=1．得到a₄=3a₃+5=8．…．由此可得：數(shù)列{a_n}是奇數(shù)項(xiàng)組成以常數(shù)1為項(xiàng)的常數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以常數(shù)8為項(xiàng)的常數(shù)列，即可得出S₂₀．若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，知a_n=p，再由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，能求出p．

解答： 解：∵a₁=1，∴a₂=3a₁+5=8，a₃=

8

2k

，取k=1，2時(shí)，a₃為偶數(shù)，應(yīng)舍去；當(dāng)k=3時(shí)，a₃=1．
∴a₄=3a₃+5=8．
…．
∴數(shù)列{a_n}是奇數(shù)項(xiàng)組成以常數(shù)1為項(xiàng)的常數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以常數(shù)8為項(xiàng)的常數(shù)列．
∴S_2k=k×1+k×8=9k，S_2k-1=S_2k-8，
∴S₂+S₄+…+S₁₀=9×（1+2+…+5）=135．
∴S₁+S₃+…+S₉=（S₂-8）+（S₄-8）+…+（S₁₀-8）=135-8×5=95．
∴S₁+S₂+…+S₂₀=135+95=230．
若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=

3p+5

2k

=p，
∴（3-2^k）p=-5，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，p=5，
當(dāng)k=3時(shí)，p=1．
故答案為：230，1或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，借助數(shù)列的周期性進(jìn)行求解．