Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點左、右分別為F₁、F₂，點P是雙曲線上一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，P到原點的距離為2，則△PF₁F₂的面積的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，2）
• C． （2，4）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 由向量垂直可得△PF₁F₂為直角三角形，由P到原點的距離為2，可得c=2，設(shè)P為右支上一點，且|PF₂|=t，由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，運用勾股定理和三角形的面積公式，由0＜a＜2計算即可得到所求范圍．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得△PF₁F₂為直角三角形，
由P到原點的距離為2，可得c=2，
設(shè)P為右支上一點，且|PF₂|=t，
由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，
即有t²+（2a+t）²=4c²=16，
即為t²+2at+2a²-8=0，
即t（t+2a）=8-2a²，
又△PF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•PF₂|=$\frac{1}{2}$t（2a+t）=4-a²，
由0＜a＜c=2，可得4-a²∈（0，4）．
即有S∈（0，4）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是定義法的運用，考查向量垂直的條件和直角三角形的斜邊的中線為斜邊的一半和勾股定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．