Question

2．設(shè)x，y∈[$\frac{1}{3}$，1]，則y+$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{11}{6}$

Answer 1

分析 化簡$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$，而$\frac{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-2）²+4y²≥4y²，從而可得$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤$\frac{1}{2y}$，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：∵$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$，
而$\frac{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{4}{x}$+4（y²+1）
=（$\frac{1}{x}$-2）²+4y²≥4y²，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，等號成立），
故$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤$\sqrt{\frac{1}{4{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2y}$，
故y+$\frac{x}{\sqrt{4{x}^{2}（{y}^{2}+1）-4x+1}}$≤y+$\frac{1}{2y}$≤$\frac{11}{6}$，
（由函數(shù)y=x+$\frac{1}{2x}$的單調(diào)性求得）；
故選D．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡運算能力及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時考查了二次函數(shù)與對勾函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．