Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$），判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）作函數(shù)在一個周期上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換可得f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），從而求得函數(shù)f（x）的最小正周期及最值．
（2）由條件求得g（x）=2cos$\frac{x}{2}$，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷它的奇偶性．
（3）用五點法作函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$） 在一個周期上的簡圖．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，最大值為2，最小值為-2．
（2）由于g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{x+\frac{π}{3}}{2}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$，故函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．
理由是：定義域為R，關于原點對稱；且g（-x）=2cos（-$\frac{x}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$=g（x），故g（x）為偶函數(shù)．
（3）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{2π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{10π}{3}$
y	0	2	0	-2	0

作圖：

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、奇偶性、最值，用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，屬于中檔題．