Question

已知是圓柱底面圓的直徑， 是底面圓周上異于的任意一點，母線；

 (1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值．

Answer 1

（1）∵是底面圓周上異于的任意一點，是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，

 ∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，

∴BC⊥平面AA₁C.

(2)解法1：設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2)

故(0<x<2),

即.

∵0<x<2，0<x²<4，∴當(dāng)x²=2，即時，三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為

.解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，

.              

當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時等號成立，此時AC=BC=.

解法3:設(shè)，則在Rt△ABC中，，

.              

當(dāng)且僅當(dāng)即 AC=BC 時等號成立，此時AC=BC=．