Question

1．設(shè)f（x）=x²+ax+b，且實(shí)數(shù)p，q適合p+q=1，求證：不等式pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），y對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是p，q∈[0，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：∵pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），
∴pf（x）+qf（y）-f（px+qy）≥0
由p+q=1，知pf（x）+qf（y）-f（px+qy）
=p（x²+ax+b）+q（y²+ay+b）-[（px+qy）²+a（px+qy）+b]
=p（1-p）x²-2pqxy+q（1-q）y²
=pq（x-y）²≥0
故pq≥0，即p（1-p）≥0
∴0≤p≤1．
∵p+q=1，∴0≤q≤1
反之也成立，
即不等式pf（x）+qf（y）≥f（px+qy），y對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是p，q∈[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的證明，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．