Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1），且cosx≠0．
（Ⅰ）若

m

∥

p

，求

m

•

n

的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，且f(x)=

m

•

n

，求函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）若

m

∥

p

，得

3 sinx

cosx

=

2 3

1

，求出tanx=2，

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的式子求解．
（2）（Ⅱ）△ABC中，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

=-

sinB

2sinA+sinC

，2sinAcosB=-（cosBsinC+sinBcosC）=-sin（B+C）=-sinA求出B，又f(x)=

3

sinxcosx+cosxcosx=

3 sin2x

2

+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．代入f（A）的式子求解，轉(zhuǎn)化為三角變換．

解答： 解：（Ⅰ）若

m

∥

p

，得

3 sinx

cosx

=

2 3

1

sinx=2cosx，
因?yàn)閏osx≠0，所以tanx=2，
所以

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos2x=

3 sinxcosx+cos2x

sin2x+cos2x

=

3 tanx+1

tan2x+1

=

2 3 +1

5

，
（Ⅱ）∵△ABC中，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

=-

sinB

2sinA+sinC

2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC
∴2sinAcosB=-（cosBsinC+sinBcosC）=-sin（B+C）=-sinA
又sinA＞0得：cosB=-

1

2

，因?yàn)?＜B＜π，所以B=

2π

3

．則0＜A＜

π

3

．
又f(x)=

3

sinxcosx+cosxcosx=

3 sin2x

2

+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
所以f(A)=sin(2A+

π

6

)+

1

2

(0＜A＜

π

3

)
因?yàn)?span id="pm7tvdz" class="MathJye">A∈(0，

π

3

)，所以2A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，所以sin(2A+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
所以f(A)∈(1，

3

2

]，即函數(shù)f（A）的值域?yàn)?span id="hobxpxo" class="MathJye">(1，

3

2

]．

點(diǎn)評：本題綜合考查了向量和三角函數(shù)的結(jié)合的題目，難度屬于中等，計(jì)算化簡容易出錯，做題要仔細(xì)．