Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-x．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）+x＞1-f（x）恒成立時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入可得f（x）=|x-3|-x，去絕對(duì)值，分類(lèi)討論即可；
（2）整理不等式得|x+1|+|x-a|＞1恒成立，只需求左式的最小值，利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)可解．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，
f（x）=|x-3|-x，
當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=-3．
當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=-2x+3，
∴f（x）＞f（3）=-3，
∴f（x）的值域?yàn)閇-3，+∞）；
（2）g（x）+x＞1-f（x）恒成立，
∴|x+1|+|x-a|＞1恒成立，
∵|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|a+1|，
∴|a+1|＞1，
∴a＞0或a＜-2．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值函數(shù)和絕對(duì)值不等式性質(zhì)，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．