Question

12．設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的兩條漸近線和拋物線y²=-8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形區(qū)域（含邊界），若點(diǎn)（x，y）∈D，則z=|3x-4y+5|的最大值是15．

Answer 1

分析 先求出雙曲線的兩條漸近線為，拋物線y²=-8x的準(zhǔn)線為x=2，結(jié)合圖象可得在點(diǎn)B（2，-1）時(shí)，z=|3x-4y+5|取得最大值．

解答 解：雙曲線y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的兩條漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，拋物線y²=-8x的準(zhǔn)線為x=2．
故可行域即圖中陰影部分，（含邊界）．
目標(biāo)函數(shù)z=|3x-4y+5|的幾何意義就是，可行域的點(diǎn)到直線3x-4y+5=0的距離的5倍：由圖形可知B到3x-4y+5=0的距離最大，
故在點(diǎn)B（2，-1）時(shí)，最大值為：$5×\frac{|3×2+4×1+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線的綜合應(yīng)用，以及圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題．