Question

3．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2\sqrt{2}≥0}\\{x≤2\sqrt{2}}\\{y≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$表示平面區(qū)域Ω，過(guò)區(qū)域Ω中的任意一個(gè)點(diǎn)P，作圓x²+y²=1的兩條切線且切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)△PAB的面積最小時(shí)，cos∠APB的值為（　�。�

• A． $\frac{7}{8}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域Ω和單位圓x²+y²=1，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)P到原點(diǎn)距離最小時(shí)，△PAB的面積最小，由三角形的知識(shí)可得．

解答 解：作出平面區(qū)域Ω和單位圓x²+y²=1，l：x+y-2$\sqrt{2}$=0，
數(shù)形結(jié)合可得S_PABO=2S_△PAO=2×$\frac{1}{2}$×PA×1=PA，
設(shè)PA=x，△ABO的面積為$\frac{1}{2}$sin∠AOB=$\frac{1}{2}$•$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
即有△PAB的面積為x-$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}}{1+{x}^{2}}$，由于在X＞0上遞增，
∴當(dāng)P到原點(diǎn)距離最小時(shí)，PA最小，△PAB的面積最小，
此時(shí)PO⊥l，且|PO|=2，故∠PAO=$\frac{π}{6}$，
∴∠APB=$\frac{π}{3}$，cos∠APB=$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖并轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．