Question

已知F為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，a≠b）的右焦點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)的直線l與一條漸近線l₁垂直于點(diǎn)M，交另一條漸近線l₂于N點(diǎn)．
（1）求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)且僅當(dāng)b²=2a²時(shí)，線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-

a2

c

上．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立漸近線方程，即可求得交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（2）從兩個(gè)方面證明，先由當(dāng)b²=2a²時(shí)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)在左準(zhǔn)線上，再由中點(diǎn)在左準(zhǔn)線上，證得b²=2a²．

解答： （1）解：設(shè)F（c，0），一條漸近線l₁為y=

b

a

x，另一條漸近線l₂為y=-

b

a

x，
則由兩直線垂直的條件可得l：y=-

a

b

（x-c），
由y=-

a

b

（x-c）和y=

b

a

x，可得M（

a2

c

，

ab

c

），
再由y=-

a

b

（x-c）和y=-

b

a

x，可得N（

ca2

a2-b2

，-

abc

a2-b2

）；
（2）證明：當(dāng)b²=2a²時(shí)，線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=

1

2

（

a2

c

-c）
=-

c2-a2

2c

=-

b2

2c

=-

a2

c

，即為雙曲線的左準(zhǔn)線，
若線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-

a2

c

上，即有

1

2

（

a2

c

+

ca2

a2-b2

）=-

a2

c

，
則有c²=3（b²-a²），即a²+b²=3b²-3a²，即有b²=2a²．
故有當(dāng)且僅當(dāng)b²=2a²時(shí)，線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-

a2

c

上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查兩直線垂直的條件，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．