已知F為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)的右焦點(diǎn),過(guò)F點(diǎn)的直線l與一條漸近線l1垂直于點(diǎn)M,交另一條漸近線l2于N點(diǎn).
(1)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:當(dāng)且僅當(dāng)b2=2a2時(shí),線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-
a2
c
上.
考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)求出雙曲線的漸近線方程,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立漸近線方程,即可求得交點(diǎn)M,N的坐標(biāo);
(2)從兩個(gè)方面證明,先由當(dāng)b2=2a2時(shí),運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)在左準(zhǔn)線上,再由中點(diǎn)在左準(zhǔn)線上,證得b2=2a2
解答: (1)解:設(shè)F(c,0),一條漸近線l1為y=
b
a
x,另一條漸近線l2為y=-
b
a
x,
則由兩直線垂直的條件可得l:y=-
a
b
(x-c),
由y=-
a
b
(x-c)和y=
b
a
x,可得M(
a2
c
ab
c
),
再由y=-
a
b
(x-c)和y=-
b
a
x,可得N(
ca2
a2-b2
,-
abc
a2-b2
);
(2)證明:當(dāng)b2=2a2時(shí),線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
a2
c
+
ca2
a2-b2
)=
1
2
a2
c
-c)
=-
c2-a2
2c
=-
b2
2c
=-
a2
c
,即為雙曲線的左準(zhǔn)線,
若線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-
a2
c
上,即有
1
2
a2
c
+
ca2
a2-b2
)=-
a2
c
,
則有c2=3(b2-a2),即a2+b2=3b2-3a2,即有b2=2a2
故有當(dāng)且僅當(dāng)b2=2a2時(shí),線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-
a2
c
上.
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的運(yùn)用,考查兩直線垂直的條件,考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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x2-2x+3,x>0
0,x=0
-x2-2x-3,x<0
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下列命題是真命題的是( 。
A、到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓
B、到定直線x=
a2
c
和定點(diǎn)F(c,0)的距離之比為
c
a
的點(diǎn)的軌跡是橢圓
C、到定點(diǎn)F(-c,0)和定直線x=-
a2
c
的距離之比為
c
a
(a>c>0)的點(diǎn)的軌跡是左半個(gè)橢圓
D、到定直線x=
a2
c
和定點(diǎn)F(c,0)的距離之比為
a
c
(a>c>0)的點(diǎn)的軌跡是橢圓

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在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,若
sinA+sinB
cosA+cosB
=2,且a+b=12;
(1)求tan(A+B)和sinC的值;
(2)求△ABC面積的最大值及取得最大值時(shí)a、b的值.

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雙曲線
x2
2
-
y2
2
=1的實(shí)軸長(zhǎng)為
 

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.
B
發(fā)生的概率為
 

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