Question

7．已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切，過(guò)點(diǎn)B（-4，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求圓A的方程；
（2）當(dāng)$|{MN}|=2\sqrt{11}$時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；
（2）根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓A的半徑為r，∵圓A與直線l₁：x+2y+7=0相切，
∴$r=\frac{{|{-1+4+7}|}}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知直線l的方程為x=-4，
此時(shí)$|{MN}|=2\sqrt{11}$，符合題意；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則AQ⊥MN，
∴${|{AQ}|^2}+（\frac{1}{2}{|{MN}|^2}）={r^2}$，又$|{MN}|=2\sqrt{11}$，$r=2\sqrt{5}$，
∴$AQ=\sqrt{20-11}=3$，又$|{AQ}|=\frac{{|{-k-2+4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，∴$\frac{{|{-k-2+4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3⇒k=-\frac{5}{12}$，
則直線l的方程為：$y=-\frac{5}{12}（x+4）$，即5x+12y+20=0，
綜上可知直線l的方程為：x=-4或5x+12y+20=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．