Question

13．平面α過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線$AB_1^{\;}$，且平面α⊥平面C₁BD，平面α∩平面ADD₁A₁=AS，則∠A₁AS的正切值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁，從而A₁C⊥平面C₁BD，以AA₁為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體AEFG-A₁PQS，使得側(cè)面AGRA₁與平面ADD₁A₁共面，連結(jié)AQ，則AQ∥CA₁，連結(jié)QB₁，交A₁R于S，則平面AQB₁就是平面α，且AS為所求作，由此能求出結(jié)果．

解答 解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD⊥AC，BD⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面AA₁C，∴A₁C⊥BD，
同理，得A₁C⊥BC₁，
∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD，
如圖，以AA₁為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體AEFG-A₁PQS，
使得側(cè)面AGRA₁與平面ADD₁A₁共面，
連結(jié)AQ，則AQ∥CA₁，連結(jié)QB₁，交A₁R于S，則平面AQB₁就是平面α，且AS為所求作，
∵AQ∥CA₁，∴AQ⊥平面C₁BD，
∵AQ?平面α，∴平面α⊥平面C₁BD，
∴tan∠A₁AS=$\frac{{A}_{1}S}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查平角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．