Question

8．在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB∥EA，AC⊥BC，且BC=BD=3，AE=2，AC=3$\sqrt{2}$，AF=2FB
（1）求證：CF⊥EF；
（2）求點D到平面CEF的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BC，CF⊥AB，CF⊥EA，從而CF⊥平面EABD，由此能證明CF⊥EF．
（2）連結DF，推導出DF⊥EF，DF⊥CF，從而DF⊥平面EFC，進而DF為點D到平面CEF的距離，由此能求出點D到平面CEF的距離．

解答 證明：（1）∵AC=3$\sqrt{2}$．BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{3}$，
∵AF=2FB，∴FB=$\sqrt{3}$，
又cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF²=BC²+BF²-2BC×BFcosB=6，
∵CF²+BF²=BC²，∴CF⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴CF⊥EA，
∵EA∩AB=A，∴CF⊥平面EABD，∴CF⊥EF．
解：（2）連結DF，在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，
在Rt△DBF中，DF=$\sqrt{D{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
在直角梯形EABD中，ED=$\sqrt{A{B}^{2}+（DB-AE）^{2}}$=$\sqrt{27+1}$=2$\sqrt{7}$，
∵ED²=EF²+DF²，∴DF⊥EF，
∴CF⊥平面EABD，∴DF⊥CF，
∵EF∩DF=F，∴DF⊥平面EFC，
∴DF為點D到平面CEF的距離，
∴點D到平面CEF的距離DF=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．