Question

2．（1）若（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．求n的值；并求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）已知a＞1，求證：$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n；設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，據(jù)最大的系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組求出r，求出系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）利用作差法，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題設(shè)，得${C}_{n}^{0}+\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}=2×\frac{1}{2}×{C}_{n}^{1}$，
即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．…（2分）
設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{n}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r+1}}{C}_{n}^{r+1}}\\{\frac{1}{{2}^{r}}{C}_{n}^{r}≥\frac{1}{{2}^{r-1}}{C}_{n}^{r-1}}\end{array}\right.$…（4分）
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{8-r}≥\frac{1}{2（r+1）}\\ \frac{1}{2r}≥\frac{1}{9-r}\end{array}\right.$解得r=2或r=3．…（6分）
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T₃=7x⁵，${T_4}=7{x^{\frac{7}{2}}}$…（8分）
（2）證明：∵（$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$）-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$）=
=$\frac{{\sqrt{a-1}-\sqrt{a+1}}}{{（\sqrt{a+1}+\sqrt{a}）（\sqrt{a}+\sqrt{a-1}）}}＜0$，
∴$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$，即原不等式成立…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題；考查二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)的求法；考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．