Question

13．三角形ABC中，AB=2且AC=2BC，則三角形ABC面積的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（-1，0），B（1，0），C（x，y），由AC=2BC，得C點(diǎn)軌跡為以（$\frac{5}{3}$，0）為圓心，以$\frac{4}{3}$為半徑的圓，可求三角形高為$\frac{4}{3}$時(shí)，S_△ABC最大，即可得解．

解答 解：設(shè)A（-1，0），B（1，0），C（x，y），
則由AC=2BC，得，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得：（x-$\frac{5}{3}$）²+y²=$\frac{16}{9}$，
所以C點(diǎn)軌跡為以（$\frac{5}{3}$，0）為圓心，以$\frac{4}{3}$為半徑的圓，
所以S_△ABC最大值為：$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
所以三角形ABC面積的最大值為$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的軌跡方程，三角形面積公式的應(yīng)用，可得了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．