Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（0，e]，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a∈R．
（1）討論當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的極值；
（2）在（1）的條件下，證明：f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求極值問題，只要求得導(dǎo)函數(shù)f'（x），令f'（x）=0求得駐點(diǎn)，討論駐點(diǎn)分實(shí)數(shù)所成區(qū)間（定義域內(nèi)）導(dǎo)數(shù)f'（x）的正負(fù)，得f（x）的單調(diào)性，確定極大值還是極小值；
（2）證明不等式$f（x）＞g（x）+\frac{1}{2}$，由于第（1）小題已知求得f（x）的極小值（最小值）為1，我們可以試著求$g（x）+\frac{1}{2}$的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求得$h（x）=g（x）+\frac{1}{2}$在（0，e]上的最大值為$h（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}$，而$1＞\frac{1}{e}+\frac{1}{2}$，因此題設(shè)不等式得證．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}$，
令$f'（x）=1-\frac{1}{x}＞0?\frac{x-1}{x}＞0$，∵x＞0，∴f'（x）＞0?x＞1，
即f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，在（0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值f（1）=1，無極大值．
（2）證明：由（1）知，f（x）在（0，e]上的最小值為1，
令$h（x）=g（x）+\frac{1}{2}=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，
∵$h'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令h'（x）＞0得x＜e，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，h（x）的最大值為$h（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}$，
即$f{（x）_{min}}＞{（g（x）+\frac{1}{2}）_{max}}$，
∴$f（x）＞g（x）+\frac{1}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究探索性命題．