Question

20．三棱錐S-ABC中所有棱長(zhǎng)都相等且為a，求SA與底面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，作出側(cè)棱PA與底面ABC所成的角，利用三角形的邊角關(guān)系求出對(duì)應(yīng)的余弦值．

解答 解：如圖所示，
三棱錐S-ABC中所有棱長(zhǎng)都相等且為a，可得AB=PA=a，
作PO⊥平面ABC，垂足為O，
連接AO，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，
∴∠PAD是PA與平面ABC所成的角，
且O是正三角形ABC的中心；
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴cos∠PAD=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即側(cè)棱PA與底面ABC所成角的余弦值為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面所成的角的計(jì)算問(wèn)題，也考查了空間想象能力與三角形邊角關(guān)系的計(jì)算能力，是中檔題．