Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-2（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）na_n=n•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=a_n+1-2（n∈N^*），∴S_n-1=a_n-2，相減可得：a_n=a_n+1-a_n，化為：a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項為1．
∴a_n=2^n-1．
（2）na_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{na_n}的前n項和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）n•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．