【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為別為,,離心率是橢圓的左、右頂點(diǎn)分別記為.點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線與直線分別交于,兩點(diǎn).

Ⅰ)求橢圓的方程.

Ⅱ)求線段長(zhǎng)度的最小值.

Ⅲ)當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),在橢圓上的點(diǎn)滿足:的面積為.試確定點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)(2)(3)2

【解析】分析:(1)先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,再根據(jù)離心率得a,解得b,(2)設(shè)直線的方程為,解得S,得直線的方程,與直線聯(lián)立解得M,N坐標(biāo),即得,最后根據(jù)基本不等式求最值,(3)當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),求出S,由的面積得點(diǎn)到直線的距離等于與點(diǎn)T在橢圓上,聯(lián)立方程組,根據(jù)解的個(gè)數(shù)確定點(diǎn)的個(gè)數(shù).

詳解:解:(Ⅰ,且,

,,

∴橢圓的方程為

Ⅱ)易知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線的斜率顯然存在,且,故可設(shè)直線的方程為

從而

設(shè),則,得,

從而,即

,故直線的方程為

,

,故,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)時(shí),線段的長(zhǎng)度取最小值

Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小值時(shí),,

此時(shí)的方程為,

,

要使的面積為,只需點(diǎn)到直線的距離等于,

所以點(diǎn)在平行于且與距離等于的直線上.

設(shè),則由,解得

①當(dāng)時(shí),由

,故直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),由,

,故直線與橢圓沒有交點(diǎn).

綜上所述,點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

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A.

B.

C.

D.

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【題目】已知奇函數(shù)滿足,則( )

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③函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn);

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其中正確的是__________.(填上所有正確說(shuō)法的序號(hào))

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